浅谈量纲分析

本文大致难度：初中至高中

事先声明：由于笔者能力有限，所以真的只是浅谈，大概知道这是个什么东西就行了。

量纲分析是物理中非常常用的一个检查（骗分）方法。有的时候，量纲分析可以在开始时就判断出答案是否正确。

举个例子，我说一个物体匀加速直线运动路程的公式是 $\displaystyle vt+\frac12at$，你觉得对吗？如果你知道这个公式肯定会说不对。如果你不知道的话，你可以检查他的单位：路程 $s$ 单位 $\rm m$，$vt$ 单位 $\rm m$，而 $at$ 单位 $\rm m/s$，显然是有问题的。这种检查单位的方法，本质上就是量纲分析。

§ 初见量纲

1. 单位制

认识量纲前，需要先清楚单位。

由基本单位，导出单位构成的单位体系就叫单位制。国际单位制（SI）的基本单位与量纲符号如下：

2. 量纲

表示一个物理量由哪些基本量组成和怎样组成的式子就叫做这个物理量的量纲式。我们知道力的单位牛 $N=kg\cdot m/s^2$。事实上，对于任何一个力学量 $\rm Q$，都有如下形式

$[\rm {Q}]=L^\alpha M^\beta T^\gamma$

其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 分别称为物理量 $\rm Q$ 对长度，质量，时间的量纲（或量纲指数）。

比如说转动惯量的量纲为 $\rm L^2M$，角动量的量纲是 $\rm L^2MT^{-1}$，动量的量纲为 $\rm LMT^{-1}$，能量的量纲为 $\rm L^2MT^{-2}$ 等等。

§ 量纲实例

1. 新单位制

题目描述

（本题选自小绿本《物理竞赛教程 高中分册第一册》）设想一种新的单位制，其基本单位都是这样选取的：长度单位为米，时间单位和质量单位的选取使得光速 $c$ 和引力常量 $G$ 的数值都为 $1$。请问，在这种单位制中的 $1$ 质量单位相当于多少千克？

过程

假设此单位制中长度单位，质量单位和时间单位为 $\rm m',kg',s'$，则有 $\rm 1m'=1m$，此时

$c=1\ \rm{m'/s'}=3\times10^8\ \rm{m/s}$

故有

$1\ \rm{s'}=\frac13\times10^{-8}\ \rm s$

此时引力常量

$G=6.7\times10^{-11}\ \rm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}=6.7\times10^{-11}\ \rm{m^3\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}=1\ \rm{m'^3\cdot (kg')^{-1}}\cdot(s')^{-2}$

代入 $\displaystyle 1\ \rm{m'}=1\ \rm{m}, 1\ \rm{s'}=\frac13\times10^{-8}\ \rm s$，有

$1\ \rm{kg'}=1.3\times10^{27}\ \rm{kg}$

2. 单摆周期

题目描述

试用量纲分析求出单摆周期的公式，其中已知常数为 $2\pi$，单摆长度为 $l$，重力加速度为 $g$，质量为 $m$。

过程

单摆周期 $T$ 单位为秒 $s$，长度单位 $m$，重力加速度 $m/s^2$。假设公式可写作 $T=2\pi\cdot l^\alpha g^\beta m^\gamma$，则有

$\rm s= m^\alpha\cdot (m/s^2)^\beta\cdot kg^\gamma=m^{\alpha+\beta}\cdot s^{-2\beta}\cdot kg^\gamma$

故有

$\begin{cases}\alpha+\beta=0\\-2\beta=1\\\gamma=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\alpha=\frac12\\\beta=-\frac12\\\gamma=0\end{cases}$

所以单摆周期公式

$T=2\pi\sqrt{\frac l g}$