浅谈多普勒效应

本文大致难度：初中至高中

§ 频率与波长

频率是单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量，一般使用 $f$ 来表示。

波长是指波在一个振动周期内传播的距离，一般用 $\lambda$ 表示。

声速，频率，波长的关系满足

$\displaystyle\lambda=\frac {v_0} {f_0}$

§ 声的多普勒效应

1. 声源移动

当声源相对于静止的观察者移动时，或者观察者相对于静止的声源移动时，观察者听到的音调会发生变化。在平时生活中可能很难体现出来，但是我们可以画图进行解释。

声源实在其所在位置发出声波的，同时也在向四周传播。又因为声源同时也在向前移动，所以靠近观察者的地方频率会变大。

我们知道，频率越高我们听到的声音就越尖，所以如果你让钟离边唱戏边想你跑来，八成就变成云堇了（手动狗头

我们设声波发射的间隔时间为 $\Delta t$。当声源不动时，那么就有

$\lambda=v_0\cdot\Delta t$

考虑声源移动的速度为 $v$，且靠近观察者，那么就有

$\lambda'=v_0\cdot\Delta t-v\cdot\Delta t$

所以

$f'=\frac{v_0}{v_0-v}f_0$

当声源远离观察者时，同理可得

$f'=\frac{v_0}{v_0+v}f_0$

2. 观察者移动

这可以视作声波与观察者的相遇问题，故易得

$f=\frac{v_0+v}\lambda$

所以有

$f=\frac{v_0+v}{v_0}f_0$

同理，当观察者远离声源时，有

$f=\frac{v_0-v}{v_0}f_0$

§ 多普勒效应模型

这就是上面两种情况的合成。

对于上图，有

$f'=\frac{v_0+u}{v_0-v}f_0$

对于上图，有

$f'=\frac{v_0-u}{v_0+v}f_0$

对于上图，有

$f'=\frac{v_0-u}{v_0-v}f_0\qquad\color{orange}{f'=\frac{v_0+u}{v_0+v}f_0}$

§ 光的多普勒效应

之前看到过一个物理笑话，一个物理学家开车闯红灯，被交警拦住，交警要求他交闯红灯的罚款，物理学家狡辩说：“红灯在我看来发生了蓝移，所以我看起来是绿灯。”警察说：“这样啊，把超速的罚款结一下吧。”

光具有波粒二象性，故也会有多普勒效应。

如上图，光的多普勒效应满足

$f'=\sqrt{\frac{c+v}{c-u}}f_0$